1. 球(Ball)

1.1 定义

球有两种形式的定义

1.1.1 定义一

$\begin{align} B\left(x_{c}, r\right) & = \{x \mid\left\|x-x_{c}\right\|_{2} \leq r\}\\& = \{x \mid\left(x-x_{c}\right)^{T}\left(x-x_{c}\right) \leq r^{2}\} \end{align}$

其中 $x_c$ 为球心， $r$ 为半径。

1.1.2 定义二

$B\left(x_{c}, r\right)=\{x_{c}+r u \mid\|u\|_{2} \leq 1\}$

从直观上看，我们都知道球一定是个凸集。下面分别通过两种定义进行证明：

1.2 球为凸集的证明

1.2.1 利用定义一证明

$\begin{aligned} \|\theta x_{1}+(1-\theta) x_{2}-x_{c}\|_{2} &=\|\theta (x_{1}-x_{c} )+(1-\theta) (x_{2}-x_{c} ) \|_{2} \\ & \leq \theta \|x_{1}-x_{c} \|_{2}+(1-\theta) \|x_{2}-x_{c} \|_{2} \\ & \leq r . \end{aligned}$

这里关键就是用到了三角不等式

1.2.2 利用定义二证明

$\theta(x_c+ru_1)+(1-\theta)(x_c+ru_2)=x_c+r\left(\theta u_1+(1-\theta)u_2\right)$

那么只需要保证

$\|\theta u_1+(1-\theta)u_2\|_{2} \le 1$

同样用三角不等式容易证明。

2. 椭球(Ellipsoid)

2.1 定义

同样，也有两种定义形式

2.1.1 定义一

$\mathcal{E}=\{x \mid\left(x-x_{c}\right)^{T} P^{-1}\left(x-x_{c}\right) \leq 1\}$

其中 $P=P^{T} \succ 0$ ，即对称且正定。椭球的半轴就是矩阵 $P$ 的特征值的方根。

特别地，当 $P=r^2 I$ ，该点集为一个半径为 $r$ 的球。

2.1.2 定义二

$\mathcal{E}=\{x_{c}+A u \mid\|u\|_{2} \leq 1\}$

这里 $A=P^{1/2}$ 。