1. 几个符号

1.1 对称方阵的集合

Sn={X∈Rn×n∣X=XT}\mathbf{S}^{n}= \{ X \in \mathbf{R}^{n \times n} \mid X=X^{T} \}

S for symmetric

1.2 对称半正定方阵的集合

S+n={X∈Sn∣X⪰0}\mathbf{S}^{n}_{+}= \{X \in \mathbf{S}^{n} \mid X \succeq 0 \}

⪰\succeq表示矩阵的特征值≥0\ge 0

1.3 对称正定方阵的集合

S++n={X∈Sn∣X≻0}\mathbf{S}^{n}_{++}= \{X \in \mathbf{S}^{n} \mid X \succ 0 \}

1.4 证明对称半正定方阵为凸锥

半正定矩阵有：

xTAx≥0x^TAx \ge 0

代入凸锥的定义即可证

xT(θ1A+θ2B)x=θ1xTAx+θ2xTBx≥0x^{T}\left(\theta_{1} A+\theta_{2} B\right) x=\theta_{1} x^{T} A x+\theta_{2} x^{T} B x \geq 0

1.5 对比

  • Sn\mathbf{S}^{n}、S+n\mathbf{S}^{n}_+是凸锥（当然也是凸集）；
  • S++n\mathbf{S}^{n}_{++}是凸集，不是凸锥，因为不包含0点。