1. 仿射集(affine set)

1.1 直线(line)

通过两个点x1≠x2x_1 \ne x_2，可构造一条直线

y=θx1+(1−θ)x2y=\theta x_1 + (1-\theta) x_2

其中θ∈R\theta \in R。若令θ∈[0,1]\theta \in [0,1]，则为一条线段。
这个式子可以简单变换为

y=x2+θ(x1−x2)y=x_2 + \theta(x_1 - x_2)

表示以x2x_2为基准点，向x1−x2x_1-x_2方向构造的一系列新的点。

把θ\theta看作变量，上式其实就是对θ\theta的线性变换加上一个常数，这就是仿射.（仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。）

1.2 仿射组合(affine combination)

给定若干点xi(i=1,…,k)x_i(i=1,\ldots,k)，定义

y=θ1x1+θ2x2+⋯+θkxky=\theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \cdots + \theta_k x_k

为这些点的仿射组合。其中θi∈R\theta_i \in R 且θ1+θ2+⋯+θk=1\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_k=1。

1.3 仿射集(affine set)

一个集合CC被称为仿射集，其充分条件是“经过其中任意两点的直线仍在此集合中”。即对任意x1,x2∈Cx_1, x_2 \in C，

y=θx1+(1−θ)x2y=\theta x_1 + (1-\theta) x_2

也在集合CC中，其中θ∈R\theta \in R，则CC为仿射集。

设x0∈Cx_0 \in C，则

V=C−x0={x−x0∣x∈C}V=C-x_0=\left\{x-x_0 | x \in C\right\}

是一个与C相关的[[子空间(subspace)]]

例子1

线性方程组{x∣Ax=b}\{x \mid A x=b\}的解集CC一定是仿射集。反之，每个仿射集都可以表示为一个线性方程组的解集。
根据定义，CC对应的子空间为{x∣Ax=0}\{x \mid A x=0\}，即AA的化零空间(nullspace)。

1.4 仿射包(affine hull)

任意集合CC，构造尽可能小的仿射集。
即集合CC中所有点的仿射组合称为关于CC的仿射包（ aff C\text { aff } C，包是指包含、包裹之意）。

 aff C={θ1x1+⋯+θkxk∣x1,…,xk∈C,θ1+⋯+θk=1}\text { aff } C=\left\{\theta_{1} x_{1}+\cdots+\theta_{k} x_{k} \mid x_{1}, \ldots, x_{k} \in C, \theta_{1}+\cdots+\theta_{k}=1\right\}

2. 凸集(convex set)

2.1 凸组合(convex combination)

给定若干点xi(i=1,…,k)x_i(i=1,\ldots,k)，定义

y=θ1x1+θ2x2+⋯+θkxky=\theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \cdots + \theta_k x_k

其中θi≥0\theta_i \ge 0 且θ1+θ2+⋯+θk=1\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_k=1，yy称作x1,x2,…,xkx_1, x_2, \ldots, x_k的一个凸组合。

2.2 凸集(convex set)

一个集合CC被称为凸集，其充分条件是“经过其中任意两点的线段仍在此集合中”。即对任意x1,x2∈Cx_1, x_2 \in C，

y=θx1+(1−θ)x2y=\theta x_1 + (1-\theta) x_2

也在集合CC中，其中θ∈[0,1]\theta \in [0,1]，则CC为凸集。可见，凸集的要求比仿射集低，任何仿射集都是凸集。

2.3 凸包(convex hull)

对任意集合CC，集合CC中所有点的凸组合称为凸包，可记作conv⁡C\operatorname{conv} C。

conv⁡C={θ1x1+⋯+θkxk∣xi∈C,θi≥0,i=1,…,k,θ1+⋯+θk=1}\operatorname{conv} C=\left\{\theta_{1} x_{1}+\cdots+\theta_{k} x_{k} \mid x_{i} \in C, \theta_{i} \geq 0, i=1, \ldots, k, \theta_{1}+\cdots+\theta_{k}=1\right\}

3. 凸锥(convex cone)

3.1 锥(cone)

对于集合CC中任意点xx和任意常数θ≥0\theta \ge 0，都有θx∈C\theta x \in C，则CC称为锥。

注：

  • 一条任意射线不一定是锥
  • 一条端点在0点的射线是锥
  • 两条端点在0点的射线是锥

3.2 锥组合(conic combination)

简单理解，conic 就是非负（或者单边）的意思。
给定若干点xi(i=1,…,k)x_i(i=1,\ldots,k)，定义

y=θ1x1+θ2x2+⋯+θkxky=\theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \cdots + \theta_k x_k

其中θi≥0\theta_i \ge 0 ，yy称作x1,x2,…,xkx_1, x_2, \ldots, x_k的一个锥组合。

3.3 凸锥(convex cone)

若从凸锥组合仍属于原集合，则称为凸锥。
即对任意x1,x2∈Cx_1, x_2 \in C，

y=θ1x1+θ2x2y=\theta_1 x_1 + \theta_2 x_2

也在集合CC中，其中θi≥0\theta_i \ge 0，则CC为凸锥。显然，凸锥的要求包含对凸集的要求，任何凸锥都是凸集。

注：

  • 两条端点在0点的射线不是凸锥
  • 两条端点在0点的射线及其构成的扇形区域是凸锥

3.4 锥包(conic hull)

对任意集合CC，集合CC中所有点的锥组合称为锥包。

{θ1x1+⋯+θkxk∣xi∈C,θi≥0,i=1,…,k}\left\{\theta_{1} x_{1}+\cdots+\theta_{k} x_{k} \mid x_{i} \in C, \theta_{i} \geq 0, i=1, \ldots, k\right\}

4. 特殊集合对比

4.1 点

一个点一定是仿射集和凸集，但不一定是锥，只有原点可以单独构成一个凸锥。

4.2 空集

空集既是仿射集，又是凸集和凸锥。